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2011届中考数学复习方案课件:第8课时__一元二次方程及其应用_图文

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│ 一元二次方程及其应用

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【典型例题】 典型例题】

3( x + 1) = 2( x + 1)

的一元二次方程的是( 例1、下列方程中是关于 的一元二次方程的是( ) 、下列方程中是关于x的一元二次方程的是 2 2

ax + bx + c = 0
2 2

1 1 + ?2=0 2 x x
变式: 变式:当k

x + 2x = x + 1
时,关于x的方程 关于x
是一元二次方程。 是一元二次方程。

kx + 2 x = x + 3
2 2

补充: 补充:一元二次方程的解

【考点讲解】 考点讲解】 ⑴概念:使方程两边相等的未知数的值,就是 概念:使方程两边相等的未知数的值, 方程的解。 方程的解。 ⑵应用:利用根的概念求代数式的值; 应用:利用根的概念求代数式的值;

【典型例题】 典型例题】 例1、已知 、

2 y + y ? 3 的值为 ,则 的值为2, 2 4 y + 2 y + 1 的值为 。
2

例2、关于 的一元二次方程 、关于x的一元二次方程

(a ? 2)x

2

+ x+a ?4=0
2

的一个根为0, 的一个根为 ,则a的值为 的值为



例3、已知关于 的一元二次方程 、已知关于x的一元二次方程
2

ax + bx + c = 0(a ≠ 0 ) 的系数满足 a + c = b


则此方程必有一根为

a, b 的两个根, 的两个根,b, c
例4、已知 、

是方程 是方程

x ? 4x + m = 0 2 y ? 8 y + 5m = 0
2

的两个根, 的两个根,则m的值为 的值为



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类型一、直接开方法: 类型一、直接开方法:

x = m(m ≥ 0 ), ? x = ± m
2

※※对于 ※※对于

(x + a )

2

=m
2

(ax + m )

= (bx + n )

2

等形式均适用直接开方法

【典型例题】 典型例题】 例1、解方程 、
2

(1)2 x ? 8 = 0; 2 (2)25 ? 16 x =0 2 (3)(1 ? x ) ? 9 = 0;

(4)9 )

(x ? 1)

2

= 16( x + 2 )

2

类型二、因式分解法 类型二、因式分解法:

(x ? x1 )(x ? x2 ) = 0 ? x = x1 , 或x = x2
方程特点: 方程特点: 左边可以分解为两个一次因式的积, 1、左边可以分解为两个一次因式的积,右边 为“0”, ,

例2、若 、
变式1: 变式 :
2

(4 x + y )

2

+ 3(4 x + y ) ? 4 = 0


则4x+y的值为 的值为

(a

+b

2 2

) ? (a

2

+ b ? 6 = 0, 则a + b =
2 2 2

)

的值 (x + y )(2 ? x ? y ) + 3 = 0 ,则x+y的值
变式3: 变式 :

变式2: 变式 :

,则x+y的值 的值

x + xy + y = 14 , y + xy + x = 28
2
2

例3、解方程 、

x + x ?6 = 0
2

例4、已知 、

2 x ? 3xy ? 2 y = 0
2 2

x+ y 的值 则 x? y
变式:已知 变式: 且

2 x ? 3xy ? 2 y = 0 x+ y x > 0, y > 0 则 x? y
2 2

的值

类型三、 类型三、配方法

ax + bx + c = 0(a ≠ 0 )
2

b ? b ? 4ac ? ? ?x+ ? = 2 2a ? 4a ?
2 2

在解方程中,多不用配方法; 在解方程中,多不用配方法;但常利用 配方思想求解代数式的值或极值之类的 问题。 问题。

【典型例题】 典型例题】 例1、试用配方法说明 、 的值恒大于0。 的值恒大于 。 例2、已知x、y为实数,求代数式 、已知 、 为实数, 为实数 的最小值。 x + y + 2 x ? 4 y + 7 的最小值。
2 2

x ? 2x + 3
2

例3、已知 x + y + 4 x ? 6 y + 13 = 0,x、y 、
2 2

为实数, 为实数,求

x

y

的值。 的值。

类型四、 类型四、公式法 ⑴条件: 条件: ⑵公式: 公式:

(a ≠ 0, 且b

2

? 4ac ≥ 0
2

)

(a ≠ 0, 且b

? b ± b ? 4ac x= 2a
2

? 4ac ≥ 0

)

例1、解下列方程 、

3x ? 4 x ? 1 = 0
2

类型五、 降次思想” 类型五、 “降次思想”的应用 ⑴求代数式的值; 求代数式的值; ⑵解二元二次方程组。 解二元二次方程组。

【典型例题】 典型例题】 例1、已知 x ? 3 x + 2 = 0 、
2

求代数式

(x ? 1)

? x + 1 的值。 的值。 x ?1
3 2

例2、已知 是一元二次方程 、已知a

x ? 3x + 1 = 0
2
3 2

的一根, 的一根,

a ? 2 a ? 5a + 1 的值。 求 的值。 2 a +1

考点3: 考点 :根的判别式 【考点讲解】 考点讲解】 根的判别式的作用: 根的判别式的作用: ①定根的个数; 定根的个数; ②求待定系数的值 ; ③应用于其它

【典型例题】 典型例题】 例1、若关于 的方程 、若关于x的方程

x + 2 k x ?1 = 0
2

有两个不相等的实数根, 有两个不相等的实数根,则 k的取值范围 的取值范围

例2、关于 的方程 (m ? 1)x + 2mx + m = 0 、关于x的方程
2

有实数根, 的取值范围是什么? 有实数根,则m的取值范围是什么? 的取值范围是什么

? x + 2 y = 6, 例3、m 为何值时,方程组 ? 、 为何值时, ?mx + y = 3.
2 2

有两个不同的实数解?有两个相同的实数解? 有两个不同的实数解?有两个相同的实数解?

5、方程类问题中的“分类讨论” 、方程类问题中的“分类讨论” 【典型例题】 典型例题】 例1、关于 的方程 (m + 1)x + 2mx ? 3 = 0 、关于x的方程
2

⑴有两个实数根,则m为 有两个实数根, 为 ⑵只有一个根,则m为 只有一个根, 为

, 。

例2、不解方程,判断关于 的方程 、不解方程,判断关于x的方程

x ? 2( x ? k ) + k = ?3
2 2

根的情况。 根的情况。

例3、如果关于 的方程 、如果关于x的方程

x + kx + 2 = 0 2 及方程 x ? x ? 2 k = 0
2

均有实数根, 均有实数根,问这两方程是否有相 同的根?若有, 同的根?若有,请求出这相同的根 的值; 及k的值;若没有,请说明理由。 的值 若没有,请说明理由。

考点4: 考点 :根与系数的关系

【考点讲解】 考点讲解】 而言, ⑴前提:对于 ax + bx + c = 0而言,当满足 前提:
2



b c x ⑵主要内容:1 + x 2 = ? , x1 x 2 = 主要内容: a a
⑶应用:整体代入求值。 应用:整体代入求值。

a≠0



? ≥ 0 时,才能用根系关系

【典型例题】 典型例题】 例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰 、 是方程

2x ? 8x + 7 = 0
2

的两根,则这个直角三角形的斜边是多少? 的两根,则这个直角三角形的斜边是多少?

例2、已知关于 的方程 、已知关于x的方程
2 2

k x + (2k ? 1)x + 1 = 0
x1 , x2

有两个不相等的实数根 的取值范围; (1)求k的取值范围; ) 的取值范围

(2)是否存在实数 ,使方程的两实数 )是否存在实数k, 根互为相反数?若存在,求出k的值 的值; 根互为相反数?若存在,求出 的值; 若不存在,请说明理由。 若不存在,请说明理由。

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