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2013版高中全程复习方略课时提能训练:单元评估检测(八)(苏教版·数学文)

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比例,答案解析附后。
单元评估检测(八)

(第八章)

(120 分钟 160 分)

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.把答案填在题中横线上)

1.直线 xsinα -y+1=0 的倾斜角的变化范围是_________.

2.正方体不在同一表面上的两顶点 A(-1,2,-1),B(3,-2,3),则正方体的

棱长为_________.

3.(2012·淮安模拟)经过点(2,-1),且与直线 x+y-5=0 垂直的直线方程是

_________.

4.若曲线 x2 ? y2 ? 1与曲线 y2 ? x2 ? 1的离心率互为倒数,则 t=_________.

25 9

t9

5.已知双曲线 C: x2 ? y2 ? 1(a>0,b>0)的右顶点、右焦点分别为 A、F,它的左
a2 b2
准线与 x 轴的交点为 B,若 A 是线段 BF 的中点,则双曲线 C 的离心率为_________.

6.(2012·连云港模拟)双曲线 x2- y2 =1 的渐近线与圆 x2+(y-3)2=r2(r>0)相切,
2
则 r=_________.

7.已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方

程为_________.

8.(2012·扬州模拟)已知直线 x+y=a 与圆 x2+y2=4 交于 A、B 两点,O 是坐标原 点,向量 OA、OB 满足 OA ? OB ? OA ? OB ,则实数 a 的值是_________.

9.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于_________. 10.若 k∈R,直线 y=kx+1 与圆 x2+y2-2ax+a2-2a-4=0 恒有交点,则实数 a 的取 值范围是_________. 11.(2011·湖北高考)过点(-1,-2)的直线 l 被圆 x2+y2-2x-2y+1=0 截得的弦长为
2 ,则直线 l 的斜率为_________. 12.已知直线 l1:(a-2)x+3y+a=0 与 l2:ax+(a-2)y-1=0 互相垂直,则 a=_______. 13.(2012·盐城模拟)在△ABC 中,∠ACB=60°,sinA∶sinB=8∶5,则以 A,B 为 焦点且过点 C 的椭圆的离心率为_________. 14.抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 的距离的最小值等于_________. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过 程或演算步骤) 15.(14 分)设直线 l 的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R). (1)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程; (2)若 a>-1,直线 l 与 x、y 轴分别交于 M、N 两点,O 为坐标原点,求△OMN 面 积取最小值时,直线 l 对应的方程. 16.(14 分)已知动点 C 到点 A(-1,0)的距离是它到点 B(1,0)的距离的 2 倍. (1)试求点 C 的轨迹方程; (2)已知直线 l 经过点 P(0,1)且与点 C 的轨迹相切,试求直线 l 的方程. 17.(14 分)(2012·南京模拟)已知圆 M 的圆心 M 在 y 轴上,半径为 1.直线 l:y=2x+2 被圆 M 所截得的弦长为 4 5 , 且圆心 M 在直线 l 的下方.
5
(1)求圆 M 的方程; (2)设 A(t,0),B(t+5,0)(-4≤t≤-1).若 AC,BC 是圆 M 的切线,求△ABC 面积的

最小值. 18.(16 分)(2012·南通模拟)已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过点 M(4,0). (1)若点 F 到直线 l 的距离为 3,求直线 l 的斜率; (2)设 A,B 为抛物线上两点,且 AB 不与 x 轴垂直,若线段 AB 的垂直平分线恰

过点 M,求证:线段 AB 中点的横坐标为定值. 19.(16 分)已知椭圆 E 的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴,且抛物线 x2=- 4 2 y 的焦点是它的一个焦点,又点 A(1, 2 )在该椭圆上. (1)求椭圆 E 的方程;

(2)若斜率为 2 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 B、C,当△ABC 的面积最大时, 求直线 l 的方程.

20.(16

分)(2012·苏州模拟)如图,已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a>b>0)的长轴为

AB,

过点 B 的直线 l 与 x 轴垂直.直线(2-k)x-(1+2k)y+(1+2k)=0(k∈R)所经过的定点

恰好是椭圆的一个顶点,且椭圆的离心率 e= 3 .
2

(1)求椭圆的标准方程; (2)设 P 是椭圆上异于 A、B 的任意一点,PH⊥x 轴,H 为垂足,延长 HP 到点 Q 使得 HP=PQ,连结 AQ 延长交直线 l 于点 M,N 为 MB 的中点.试判断直线 QN 与以 AB 为直径的圆 O 的位置关系.
答案解析

1.【解析】直线 xsinα-y+1=0 的斜率是 k=sinα.

又∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1.

∴当 0≤k≤1 时,倾斜角的范围是[0, ? ];
4

当-1≤k<0 时,倾斜角的范围是[ 3? ,π).
4

答案:[0, ? ]∪[ 3? ,π)

4

4

2.【解析】设棱长为 a,则 3a= 42 ? ??4?2 ? 42,∴a=4.

答案:4

3.【解析】设所求直线方程的斜率为 k,则 k×(-1)=-1,∴k=1,又经过点(2,-1),所求

直线方程为 y+1=x-2,即 x-y-3=0.

答案:x-y-3=0

4.【解题指南】解答本题关键是判断曲线的类型,找到 a,b,通过 e= c 求得.
a

【解析】因为曲线 x2 ? y2 =1 的离心率为 4 ,所以曲线 y2 ? x2 ? 1的离心率为 5,即

25 9

5

t9

4

为双曲线,所以 5 ? 9 ? t , 解得 t= ? 81.

43

16

答案: ? 81
16

5.【解析】由题意知:B( ? a2 , 0),A(a,0),F(c,0),则 2a=c- a2 ,即 e2-2e-1=0,解得

c

c

e= 2 +1.

答案: 2 +1

6.【解析】由已知可知圆心坐标为(0,3),双曲线的渐近线方程为 y=± 2 x,由于

圆与渐近线相切,则圆心到直线的距离等于半径 r,则 r= 3 ? 3.
2 ?1

答案: 3

7.【解题指南】由于圆与两平行线都相切,故两平行线间距离即为直径,只要再求

得圆心坐标即可得解.

【解析】因为两条直线 x-y=0 与 x-y-4=0 平行,故它们之间的距离即为圆的直径, 所以 2R= 4 , 所以 R= 2. 设圆心坐标为 P(a,-a),则点 P 到两条切线的距离都等于
2

半径,所以 2 a ?

2a ? 4

2,

?

2, 解得 a=1,故圆心为(1,-1),所以圆的标准方程为

2

2

(x-1)2+(y+1)2=2.

答案:(x-1)2+(y+1)2=2

8.【解析】∵ OA ? OB ? OA ? OB ,

2
? OA

?

2OA

OB ?

2
OB

?

2
OA

?

2OA

OB ?

OB2,

?OA OB ? 0,即OA ? OB,

又 A、B 两点是直线 x+y=a 与圆的交点,

∴A、B 两点分别是圆与坐标轴的交点,

设 A(0,a),B(a,0),又由于圆的半径为 2,∴a=2 或-2.

答案:2 或-2

9.【解析】设 2a、2b 分别为椭圆的长轴长、短轴长,依题设有 4b=2a,即 a=2b,

所以 c ? a2 ? b2 ? 3b, 所以离心率为 e ? c ? 3 .
a2

答案: 3
2
10.【解题指南】通过直线过定点,转化为定点在圆内或圆上,通过圆的性质列

不等式求解即可.

【解析】因为直线 y=kx+1 恒过定点(0,1),题设条件等价于点(0,1)在圆内或

圆上,则 02+12-2a·0+a2-2a-4≤0 且 2a+4>0,解得-1≤a≤3.

答案:-1≤a≤3

11.【解析】由题意知直线要与圆相交,必存在斜率,设为 k,则直线方程为

y+2=k(x+1),又圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为(1,1),半径为 1,

∴圆心到直线的距离 d ? k ?1? k ? 2 ? 1? ( 2 )2 ,

1? k2

2

解得:k=1 或17 .
7
答案:1 或17
7

12.【解析】因为 l1:(a-2)x+3y+a=0 与 l2:ax+(a-2)y-1=0 互相垂直

所以,a(a-2)+3(a-2)=0,解得 a=2 或 a=-3.

答案:2 或-3

13.【解析】设 BC=m,AC=n,则 m ? 8 , m+n=2a,(2c)2=m2+n2-2mncos60°,
n5

先求得 m ? 16 a, n ? 10 a,代入得 4c2= 196 a2,e= 7 .

13 13

169

13

答案: 7
13

14.【解析】由抛物线的方程,可设抛物线上的点的坐标为

(x,-x2),根据点到直线的距离公式,得

d ? 4x ? 3??x2 ? ? 8 ? 3 (x ? 2)2 ? 4 ,所以当 x= 2 时,d 取得最小值 4 .

42 ? 32

5 33

3

3

答案: 4
3

15.【解析】(1)当直线 l 经过坐标原点时,该直线在两坐标轴上的截距都为 0,

此时 a+2=0,解得 a=-2,此时直线 l 的方程为-x+y=0,即 x-y=0;

当直线 l 不经过坐标原点,即 a≠-2 且 a≠-1 时,由直线在两坐标轴上的截距相等 可得 2 ? a ? 2 ? a,解得 a=0,此时直线 l 的方程为 x+y-2=0.
a ?1
所以直线 l 的方程为 x-y=0 或 x+y-2=0.

(2)由直线方程可得 M( 2 ? a ,0),N(0,2+a),
a ?1
又因为 a>-1.



S△OMN=

1

?

2

?

a

??2

?

a

?

?

1

[?a
?

?1?

? 1]2

2 a ?1

2

a ?1

? 1 ?[?a ?1? ? 1 ? 2]? 1 ?[2 ?a ?1? 1 ? 2]? 2,

2

a ?1

2

a ?1

当且仅当 a+1= 1 , 即 a=0 时等号成立.此时直线 l 的方程为 x+y-2=0.
a ?1

16.【解题指南】(1)利用直接法列出方程,化简即可.(2)对斜率是否存在分类讨

论,根据切线的性质求斜率,进而求出方程.
【解析】(1)设点 C(x,y),则|CA|= ?x ?1?2 ? y2 , |CB|= ?x ?1?2 ? y2 . 由题意,得 ? x ?1?2 ? y2 ? 2 ? ?x ?1?2 ? y2 .

两边平方,得(x+1)2+y2=2×[(x-1)2+y2].

整理,得(x-3)2+y2=8.

故点 C 的轨迹是一个圆,其方程为(x-3)2+y2=8. (2)由(1),得圆心为 M(3,0),半径 r ? 2 2. ①若直线 l 的斜率不存在,则方程为 x=0,圆心到直线的距离 d=3≠ 2 2 ,故该直 线与圆不相切;

②若直线 l 的斜率存在,设为 k,则直线 l 的方程为 y=kx+1. 由直线和圆相切,得 d= 3k ?1 ? 2 2, 整理,得 k2+6k-7=0,解得 k=1,或 k=-7.故所
1? k2
求直线的方程为 y=x+1,或 y=-7x+1,即 x-y+1=0 或 7x+y-1=0.

17.【解析】(1)设 M(0,b).由题设知,M 到直线 l 的距离是 1? (2 5 )2 ? 5 .

5

5

所以 ?b ? 2 ? 5 , 解得 b=1 或 b=3.
55

因为圆心 M 在直线 l 的下方,所以 b=1,

即所求圆 M 的方程为 x2+(y-1)2=1.

(2)当直线 AC,BC 的斜率都存在,即-4<t<-1 时,

直线

AC

的斜率

?2

kAC=tan2∠MAO=

1

?

t 1
t2

?

?2t t2 ?1

,

同理直线

BC

的斜率

kBC=

?2?t ? ?t ? 5?2

5?
?1

,

所以直线

AC

的方程为

y=

?2t t2 ?1

?

x

?

t

?

,

直线

BC

的方程为

y

?

?2?t ? ?t ? 5?2

5?
?1

?

x

?

t

?

5?.

解方程组

???y ? ?y ??

? ?

?2t t2 ?1

?

x

?

t

?

?2?t ? ?t ? 5?2

5?
?1

?

x

?

t

?

5?



x ? 2t ? 5 , y ? 2t2 ?10t . t2 ? 5t ?1 t2 ? 5t ?1

所以

y

?

2t2 ?10t t2 ? 5t ?1

?

2

?

t2

2 ? 5t

. ?1

因为-4<t<-1,所以 ? 21 ? t2 ? 5t ?1<? 3,
4

所以 50 ? y<8 . 故当 t= ? 5 时,△ABC 的面积取最小值 1 ?5? 50 ? 125 .

21 3

2

2 21 21

当直线 AC,BC 的斜率有一个不存在时,即 t=-4 或 t=-1 时,易求得△ABC 的面

积为 20 .
3

综上,当 t= ? 5 时,△ABC 的面积的最小值为 125 .

2

21

18.【解析】(1)由已知,x=4 不合题意.设直线 l 的方程为 y=k(x-4),

由已知,抛物线的焦点坐标为(1,0),

因为点 F 到直线 l 的距离为 3 ,所以 3k ? 3,
1? k2

解得 k= ? 2 ,所以直线 l 的斜率为 ? 2 .

2

2

(2)设线段 AB 中点的坐标为 N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),

因为 AB 不垂直于 x 轴,则直线 MN 的斜率为 y0 , 直线 AB 的斜率为 4 ? x0 ,

x0 ? 4

y0

直线

AB

的方程为

y-y0=

4

? x0 y0

?

x

?

x0

?

,

联立方程

??y ?

?

y0

?

4

? x0 y0

?x

?

x0

?
,

? ?

y

2

?

4x

消去 x 得(1- x0 )y2-y0y+y02+x0(x0-4)=0,
4

所以 y1+y2= 4y0 ,
4 ? x0

因为 N 为 AB 中点,所以 y1 ? y2 =y0,即 2y0 =y0,

2

4 ? x0

所以 x0=2.即线段 AB 中点的横坐标为定值 2.

19.【解析】(1)由已知抛物线的焦点为(0,-

2

),故设椭圆方程为

y2 a2

?

x2 a2 ?

2

?1

(a> 2 ).

将点 A(1,

2

)代入方程得

2 a2

?

1 a2 ?

2

? 1,

整理得 a4-5a2+4=0,得 a2=4 或 a2=1(舍),

故所求椭圆方程为 y2 ? x2 =1.
42

(2)设直线 BC 的方程为 y= 2 x+m,

设 B(x1,y1),C(x2,y2),

代入椭圆方程并化简得 4x2+2 2 mx+m2-4=0,

由Δ=8m2-16(m2-4)=8(8-m2)>0,

可得 0≤m2<8.

(*)

由 x1+x2=- 2 m,x1x2= m2 ? 4 ,

2

4

故|BC|= 3 |x1-x2|= 3 16 ? 2m2 .
2

又点 A 到 BC 的距离为 d= m ,
3

? ? 故 S△ABC= 1 |BC|·d= m2 16 ? 2m2

2

4

? ? 1 2m2 ? 16 ? 2m2

?

? 2,

42

2

当且仅当 2m2=16-2m2,即 m=±2 时取等号(满足*式),此时直线 l 的方程为 y= 2 x

±2.

【方法技巧】解决解析几何中最值问题的常用求法

解析几何中的最值问题是高考考查的一个重要方向,既可以出现在填空题中,也

可以出现在解答题中,根据待求量的特点,常用以下两种思想方法:

(1)数形结合思想:当待求量有几何意义时,一般利用其几何性质,数形结合求解.

(2)函数思想:当待求量与其他变量有关时,一般引入该变量构造函数,然后求最值,

但要注意待求量的取值范围.

【变式备选】已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a>b>0)的离心率为

6 , 短轴的一个端点到右焦
3

点的距离为 3,直线 l:y=kx+m 交椭圆于不同的两点 A,B,

(1)求椭圆的方程;

(2)若坐标原点 O 到直线 l 的距离为 3 ,求△AOB 面积的最大值.
2

【解析】(1)设椭圆的半焦距为

c,依题意

?c ? ?a

?

6 3,

??a ? 3

解得 c= 2 .由 a2=b2+c2,得 b=1.

∴所求椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1.
3

(2)由已知得 m ? 3 , 可得 m2= 3 (k2+1).

1? k2 2

4

将 y=kx+m 代入椭圆方程,

整理得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0.

Δ=(6km)2-4(1+3k2)(3m2-3)>0 (*)

∴x1+x2=

?6km 1? 3k2

,

x1·x2=

3m2 ? 3 1 ? 3k2

.

? ? ? ? ∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)[

36k 2 m2 3k2 ?1 2

12 m2 ?1 ? 3k2 ?1



12?k2 ?1??3k2 ?1? m2 ? 3?k2 ?1??9k2 ?1?

?

? ? 3k2 ?1 2

? ? ?

3k2 ?1 2

?

3?

12k 2 9k4 ? 6k2

?1

?

3?

9k 2

12

?

1 k2

?

6

?

3?

12 2?3?6

=4(k≠0)

当且仅当

9k2

?

1 k2

,



k=

?

3 时等号成立.
3

经检验,k= ? 3 满足(*)式.当 k=0 时,|AB|= 3 .
3

综上可知|AB|max=2.∴当|AB|最大时,△AOB 的面积取最大值 Smax= 1 ? 2? 3 ? 3 .
2 22

20.【解析】(1)将(2-k)x-(1+2k)y+(1+2k)=0,

整理得(-x-2y+2)k+2x-y+1=0,

解方程组

??x ??2x

? ?

2y ? y ?1

2 ?

? 0

0,

得直线所经过的定点(0,1),所以 b=1.

由离心率 e= 3 得 a=2.
2

所以椭圆的标准方程为 x2 +y2=1.
4

(2)设 P(x0,y0),则 x02 +y02=1.
4

∵HP=PQ,∴Q(x0,2y0).∴OQ=

x

2 0

? ?2y0 ?2

? 2,

∴Q 点在以 O 为圆心,2 为半径的圆上.即 Q 点在以 AB 为直径的圆 O 上.

又 A(-2,0),∴直线 AQ 的方程为 y ? 2y0 ?x ? 2?.
x0 ? 2

令 x=2,得 M(2, 8y0 ).又 B(2,0),N 为 MB 的中点,
x0 ? 2

∴N(2, 4y0 ).
x0 ? 2

? OQ

?

?

x0

,

2y0

?

,

NQ

?

(x

0

?

2,

2x0y0 ). x0 ? 2

? ? ?OQ

NQ ? x0 ?x0 ? 2? ? 2y0

2x 0 y0 x0 ? 2

?

x0

?x0

?

2?

?

4x 0 y0 2 x0 ? 2

?

x0

?x0

?

2?

?

x0

4 x0

?

x

2 0

?2

=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0.

∴ OQ ? NQ. ∴直线 QN 与圆 O 相切.




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