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第2章 信号与系统的时域分析0

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第二章 信号与系统的时域分析
2.0 引言 系统分析的任务之一:已知系统和输入, 求输出 ? 时域分析指在分析过程中,信号变换, 系统描述,输出求解全部在时域进行, 所涉及的函数都是自变量t或n的函数 ? 特点:方法直观,物理概念清楚

分析方法 ? LTI系统满足均匀性和迭加性,如果输入 信号可以分解为简单单元信号的线性组 合,
x (t ) = ∑ ai xi (t )
i

? 则输出就是系统对简单单元信号响应的 组合
y (t ) = ∑ a i y i (t )
i

yi (t) 是系统对简单单元信号 xi (t) 的响应

? 只要求出系统对简单单元信号的响应, 就可以要求出系统对任意复杂信号的响 应。 ? 问题:用什么样的单元信号?怎样分解 复杂信号为单元信号的组合?系统对简 单单元信号的响应如何求? ? 时域分析以 δ 函数为单元信号,以卷积 积分为手段

2.1 信号的时域分解 ? 讨论用δ (t ) 和δ (n ) 函数来表示复杂连续和 离散信号 2.1.1 用δ (t ) 来表示连续时间信号 设有如下矩形脉冲
1 ?? δ ? (t ) = ? ?0

0<t<? 其它 t

可以变为 ? δ ( t ) = ?1 ? ?

?0

0<t<? 其它 t

δ ? (t )

1/△ t

0



图2.1

δ ? (t ) 的波形

将信号*移 k ? ,有
?1 ? δ ? (t ? k? ) = ? ?0 k ? < t < ( k + 1) ? 其它 t

这样连续信号x(t)就可以用一系列矩形脉 ∞ 冲*似
? x (t ) =
k = ?∞



x ( k ? )δ ? ( t ? k ? ) ? ?

在 t = k ? 处的函数值 ? 当 ? → 0 时, x ( t ) → x ( t ) δ ? ( t ) → δ ( t ) 且 ? → dτ k? → τ

x ( k ? )是x(t)

δ(t ? k?) ?

1/△

t 0
k? (k + 1)?

图2.2

δ(t ? k?) 的波形 ?

求和变为积分
? x ( t ) = lim x ( t ) =
?→0





?∞

x (τ )δ ( t ? τ ) d τ

任意复杂连续时间信号可以用无穷 δ (t ) 函数的移位,加权之和来表示 上式也可以用 δ (t ) 的性质推出





?∞

x (τ )δ (t ? τ ) dτ = ∫



?∞

x (τ )δ (τ ? t ) dτ = x (t )

2.1.2 用 δ (n )来表示离散时间信号 设有任意离散时间信号
? ? ? x ( ? 2 ), x ( ? 1), x ( 0 ), x (1), x ( 2 ), ? ? ?

根据δ (n ) 函数的抽样性质,可以有
? x ( ? 2 ), x ( ? 2 )δ ( n + 2 ) = ? ? 0, ? x ( ? 1), x ( ? 1) δ ( n + 1) = ? ? 0, n = ?2 n ≠ ?2 n = ?1 n ≠ ?1

? x ( 0 ), x ( 0 )δ ( n ) = ? ? 0, ? x (1), x (1)δ ( n ? 1) = ? ? 0, ? x ( 2 ), x ( 2 )δ ( n ? 2 ) = ? ? 0,

n=0 n≠0 n =1 n ≠1 n=2 n≠ 2 n=k n≠ k

可以得出
? x ( k ), x ( k )δ ( n ? k ) = ? ? 0,

将所以序列点加起来就是x(n)
x(n) =
k = ?∞





x ( k )δ ( n ? k )

任意复杂离散时间信号可以用无穷 δ (n ) 函数的移位,加权之和来表示

x(n)
x ( 4)
x(?2)
x(?3)

x(0)
x(1)

x(3)

x(n)
… n

x(?1)

x(2)

图2.4

x(n) 的波形

2. 2 连续时间LTI系统时域分析 ? LTI系统有两个重要性质,线性和时不变 性,根据这两个重要性质来确定系统的 响应。 2.2.1 卷积积分 ? 对任意LTI系统,当输入为x(t)时,输出 为y(t)。如果输入信号为 δ (t ) 时,输出 y(t)称为单位冲激响应,用一个特殊的符 号 h (t ) 表示。

? 如果将单位冲激信号延迟 k ? ,根据 时不变特性,单位冲激响应 h (t ) 也会延 迟 k ? 既, δ ( t ? k ? ) → h ( t ? k ? ) ? 如果将单位冲激信号的强度变为 a δ ( t ) , 根据均匀性原则,单位冲激响应 h ( t ) 也 会变为 ah ( t ) 设 a = x ( k ? ) ? (面积 ) 则 x ( k ? )δ ( t ? k ? ) ? → x ( k ? ) h ( t ? k ? ) ? ? 应用迭加原理,输入,输出变为求和, 即 ∑ x ( k ? )δ ( t ? k ? ) ? → ∑ x ( k ? ) h ( t ? k ? ) ?
k k

当 ?→0 时 求和变为积分
x(t ) = ∫
∞ ?∞

? → dτ


k? → τ

x(τ )δ (t ? τ )dτ → ∫


?∞

x(τ )h(t ? τ )dτ = y (t )

y (t ) = ∫ x(τ )h(t ? τ )dτ 可得 ?∞ ? 输入输出是一个积分关系,这是一种特 殊的积分,称作卷积,记做

y (t ) = x (t ) * h (t ) =





?∞

x (τ ) h ( t ? τ ) d τ

从公式可以看出,一个连续时间LTI系统, 对于给定的输入x(t),系统的响应取决于系 h (t ) 统的单位冲激响应 ,换句话说,系 h (t ) 统的单位冲激响应 完全能够表征一 个 线性时不变系统。 x(t)
h(t)

y(t ) = x(t ) * h(t )

例1.已知一个 线性时不变系统的单位冲 h ( t ) = e ? at u ( t ) ,系统的输入为单 激响应为 位阶跃函数 x ( t ) = u ( t ) ,求系统的输出 解
y(t ) = x(t ) * h(t ) = ∫ x(τ )h(t ?τ )dτ
= ∫ u(τ )e?a(t ?τ )u(t ?τ )dτ
?∞ ∞ ∞

τ 式中, 是积分变量,t为参变量。当 τ < 0 u u 时, (τ ) = 0 而当 τ > t 时, ( t ? τ ) = 0 故积 分区间为 0 ≤ τ ≤ t

?∞

故有
y(t ) = ∫ e
0 t ?a (t ?τ )

dτ = ∫ e?at eaτ dτ
0
t

t

1 ?at aτ = e e a

1 = [1 ? e?at ]u(t ) 0 a

卷积的积分区间为 (?∞, ∞) ,需要根据 x(t ) 和 h(t ) 的不同来确定积分上下限

卷积的图解 卷积是特殊积分运算,借助图解可以使 运算更为直观和便于理解,根据公式, 可以知道,图解一般步骤为 1 反转,将 h(τ ) 波形反转为 h(?τ ) 2 将 h(?τ )随参变量t*移,得 h(t ? τ ),若t<0, 则向左*移,若t>0,则向右*移 3 相乘, x(τ )h(t ? τ ) 4 积分,计算 x(τ )h(t ? τ )下的面积,得结果

x(τ )
1 T

h(τ )

-T (a)

0

τ
T

τ
0 (b) T

图2.7

x(τ )与 h(τ )的波形

h (t ? τ )

t<-T

1 0

x(τ )

h(t ? τ )
T -T<t<0 1

x(τ )

τ
T t-T -T t (b) 0 T

τ

t-T

t

-T (a)

h(t ? τ )

0<t<T

1 t

x(τ )

x(τ )

h(t ? τ )
1 T<t<2T

-T t-T 0 (c)

τ
T -T (d) 0 t-T T t

τ

x(τ )

h(t ? τ )
1 0 (e) t>2T

y (t )
T2 2

τ
-T T t-T t -T

τ
0 T 2T

(f)




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